Bài toán tự luận liên quan đến môn Cờ vua làm khó nhiều thí sinh kỳ thi Toán châu Á – Thái Bình Dương năm 2023.

Vòng 2 của kỳ thi Toán châu Á – Thái Bình Dương (APMOPS) năm nay diễn ra từ 26 đến 28/5 tại Singapore, với sự tham gia của hơn 200 thí sinh đến từ 14 quốc gia và vùng lãnh thổ. Đây là một trong những cuộc thi Toán uy tín nhất dành cho học sinh dưới 12 tuổi hiện nay.

Tại vòng 1, các thí sinh phải giải 30 bài toán tiếng Anh dưới dạng trắc nghiệm, viết đáp số trong vòng 120 phút. Ở vòng 2, các em được yêu cầu giải 14 bài toán trong 120 phút, gồm 12 bài trắc nghiệm và hai bài tự luận.

Sau đây là bài tự luận làm khó nhiều thí sinh.

Đề bài:

Trong một giải đấu cờ vua có n kỳ thủ tham dự theo thể thức vòng tròn 1 lượt, mỗi người đều thi đấu với những người còn lại đúng một ván cờ với quy tắc tính điểm: “Mỗi ván thắng được cộng 1 điểm, hòa được cộng 0.5 điểm và thua 0 điểm”.

Biết khi kết thúc giải đấu, Anna và Ben cùng được 8 điểm còn tất cả những người còn lại có số điểm bằng nhau. Xác định các khả năng có thể xảy ra của n.

Hướng dẫn giải:

Gọi (n– 2) kỳ thủ còn lại có cùng k điểm thì 2k là số nguyên dương.

Do mỗi người đều đấu với (n-1) người còn lại nên số trận đấu là n(n – 1)/2.

Để ý rằng tổng điểm của 2 kỳ thủ bất kỳ ở mỗi ván đấu luôn là 1 nên tổng điểm của tất cả các kỳ thủ khi kết thúc giải chính bằng số trận đã đấu và bằng n(n – 1)/2.

Ta có phương trình sau đây:

n(n – 1)/2 = 8 + 8 + (n – 2)k

n(n – 1) = 32 + 2(n – 2)k

(n – 2)[(n + 1) – 2k] = 30

Vì Anna và Ben cùng được 8 điểm và mỗi ván đấu mỗi người được tối đa 1 điểm nên có ít nhất 8 ván đấu tức là số người là: n ≥ 9 . Suy ra 7 ≤ (n – 2) là ước số của 30.

Từ đó (n – 2) thuộc {10; 15; 30}, suy ra n thuộc {12; 17; 32}

Với n = 12 hay n – 2 = 10 thì (n + 1) – 2k = 3 hay k = 5 thì Anna và Ben cùng 8 điểm và 10 người còn lại cùng được 5 điểm. Trường hợp này có thể xảy ra nếu trong 10 người còn lại, Anna thắng đúng 5 người và Ben thắng 5 người còn lại, các trận đấu còn lại có kết quả hòa.

Với n = 17 hay n – 2 = 15 thì (n + 1) – 2k = 2 hay k = 8, Anna và Ben cùng 8 điểm và 15 người còn lại cùng được 8 điểm. Trường hợp này có thể xảy ra khi tất cả các kỳ thủ hòa nhau và mỗi người được 8 điểm.

Với n = 32 hay n – 2 = 30 thì (n + 1) – 2k = 1 hay k = 16 thì Anna và Ben cùng 8 điểm và 30 người còn lại cùng được 16 điểm. Trường hợp này có thể xảy ra nếu trong 30 người còn lại, Anna thua đúng 15 người và Ben thua đúng 15 người còn lại, còn các trận đấu còn lại có kết quả hòa.

Nguồn: Báo điện tử VnExpress